Zermelo–Fraenkel çoxluq teoriyası (ZF) - Müasir riyaziyyatın əsasını təşkil edən rəsmi sistem. Bu teoriya 20-ci əsrin əvvəllərində alman riyaziyyatçılarından Ernst Zermelo və Abraham Fraenkel tərəfindən inkişaf etdirilmişdir. Zermelo–Fraenkel çoxluq teoriyası, riyaziyyatın təməl obyektlərindən biri olan çoxluqlarla əlaqəli məsələləri həll etmək üçün bir çərçivə təmin edir. Bu teoriya, çoxluqlara dair yaranan paradoksları, məsələn, Russelin paradoksunu aradan qaldırmağa çalışır və çoxluqların necə davranacağını tənzimləyən aksiomalar toplusu təklif edir. ZF, ən geniş istifadə olunan və riyaziyyatın müxtəlif sahələrində əsas təməl teoriyası olaraq qəbul edilir. Bu sistem həm təmiz riyaziyyat, həm də məntiq və fəlsəfə sahələrində geniş şəkildə tətbiq olunur. Tarixi Çoxluq teoriyasının inkişafı 19-cu əsrin sonlarına doğru Georg Kantorun işləri ilə başlamışdır. Kantor çoxluq teoriyasını, obyektlərin toplumu olaraq çoxluqlar anlayışını təqdim etmişdir. Lakin tezliklə bəzi təsəvvürlər çoxluqlarla bağlı paradoksların yaranmasına səbəb olmuşdur. Bu paradokslar arasında ən məşhuru olan Russelin paradoksu, özünü özündə saxlamayan bütün çoxluqların cəmi adında bir çoxluğun mövcud olmadığını göstərmişdir. Bu problem, riyaziyyatın möhkəm və tutarlı bir təməlini yaratmağa maneə olmuşdur. Zermelo 1908-ci ildə, bu problemləri həll etmək məqsədilə bir aksiomlar toplusu təklif etmişdir (Zermelo çoxluq teoriyası kimi tanınır). Daha sonra, Abraham Fraenkel Zermelo-nun işini 1920-ci illərdə genişləndirərək Zermelo–Fraenkel çoxluq teoriyasını (ZF) yaratmışdır. Bu yeni sistem, çoxluqların qurulmasına dair daha geniş prinsipləri ehtiva edir. Zermelo–Fraenkel teoriyasının aksiomaları 1. Ekstensionallıq (Bərabərlik): İki çoxluq yalnız eyni elementlərə sahib olduqda bərabərdir. Bu aksiom, bir çoxluğun yalnız onun elementləri tərəfindən müəyyənləşdirildiyini təsdiqləyir. İki çoxluq A və B, yalnız A-nın hər bir elementi B-də mövcud olduqda və B-nin hər bir elementi A-da mövcud olduqda bərabərdir. Riyazi ifadəsi: ∀x(x∈A⟺x∈B)⟹A=B 2. Vasitəçilik: Hər hansı bir qeyri-boş A çoxluğu, A ilə heç bir ortaq elementi olmayan bir elementə sahibdir. Bu aksiom, özünü özündə saxlayan çoxluq anlayışını qadağan edir və dairəvi arqumentlərin qarşısını alır. Riyazi olaraq belətəsvir edilir: "Çoxluqların elementləri bir-birinin daxilində ola bilər, amma bu elementlər zənciri bir nöqtədə dayanmalıdır." 3. Boş çoxluq: Boş, yəni heç bir elementi olmayan bir çoxluğun mövcudluğu mümkündür. Bu çoxluq ∅ ilə təmsil olunur. Riyazi ifadəsi: ∃A ∀x (x∉A) 4. Cütləşdirmə: Hər hansı iki çoxluq üçün yalnız bu iki çoxluğu özündə saxlayan bir çoxluq mövcuddur. Riyazi ifadəsi: ∀A ∀B ∃C (A∈C ∧B∈C).Burada:A və B verilmiş çoxluqlardır.C isə A və B-ni element olaraq daxil edən yeni çoxluqdur. 5. Birlik: Hər hansı bir A çoxluğu üçün, A-nın elementlərini özündə saxlayan bir çoxluq mövcuddur. Bu aksiom, çoxluqların elementlərindən yeni çoxluqlar yaratmağa imkan verir. Riyazi ifadəsi: ∀A ∃B ∀x (x∈B⟺∃C (C∈A∧x∈C)). Burada:A çoxluğu müxtəlif çoxluqları özündə saxlayır.B isə A-nın elementlərindəki bütün elementləri birləşdirən çoxluqdur. 6. Güc çoxluğu: Hər hansı bir A çoxluğu üçün, A-nın bütün altçoxluqlarını özündə saxlayan bir çoxluq mövcuddur. Bu, A-nın güc çoxluğu adlanır. Riyazi ifadəsi: ∀A ∃B ∀C (C⊆A⟹C∈B) Burada A verilmiş çoxluqdur. B=P(A) A-nın bütün altçoxluqlarından ibarət olan güc çoxluğudur.C⊆A, C-nin A-nın altçoxluğu olduğunu göstərir. 7. Sonsuzluq: Boş çoxluqdan başlayaraq və hər dəfə bir element əlavə edərək sonsuz bir çoxluq mövcuddur. Bu aksiom sonsuz çoxluqların mövcudluğunu təmin edir. Riyazi ifadəsi: ∃A (∅∈A ∧∀x (x∈A⟹x∪{x}∈A)) Burada A sonsuz çoxluqdur.∅, yəni boş çoxluq, A-nın bir elementidir. Hər bir x üçün x∪{x}, x-in "növbəti" elementi olaraq A-ya daxildir. 8. Ayırma: Hər hansı bir çoxluq və hər hansı bir şərt üçün, yalnız bu şərti ödəyən elementləri özündə saxlayan bir altçoxluq mövcuddur. Riyazi ifadəsi: ∀A ∃B ∀x (x∈B⟺x∈A∧P(x)) Burada A başlanğıc çoxluqdur. B yeni altçoxluqdur. P(x) x-in müəyyən bir şərti (predikatı) ödəyib-ödəmədiyini göstərən məntiqi ifadədir. x∈B⟺x∈A∧P(x): B-nin elementləri A-nın daxilində olan və P(x)-ni ödəyən elementlərdir. 9. Əvəzləmə: Bir funksiya bir çoxluq üzərində təyin edildikdə, bu funksiyanın tətbiq etdiyi bütün elementləri özündə saxlayan yeni bir çoxluq mövcuddur. Riyazi ifadəsi: ∀A ∀F (F bir funksiya olduqda) ∃B ∀y (y∈B⟺∃x (x∈A∧y=F(x))) Burada: A başlanğıc çoxluqdur. F(x), x-in elementləri üzərində müəyyən olunmuş bir qaydadır (və ya funksiya).B, F(x)-yə əsasən A-nın elementlərindən yaradılan yeni çoxluqdur. 10. Seçim (ZFC-də əlavə olaraq daxil edilir): Hər hansı bir qeyri-boş çoxluq üçün, hər bir altçoxluğundan bir element seçən bir funksiya mövcuddur. Bu aksiom, Zermelo–Fraenkel çoxluq teoriyasının bütün aksiomları ilə əlaqəli deyil və bəzi riyaziyyatçıların tənqidlərinə səbəb olur. Riyazi ifadəsi: ∀A (∀B∈A ∃x (x∈B))⟹∃f ∀B∈A (f(B)∈B) Burada: A, altçoxluqların daxil olduğu başlanğıc çoxluqdur. B, A-nın elementlərindən biri olan altçoxluqdur. f(B), hər bir altçoxluqdan seçilən bir elementi təmsil edən funksiya. Tətbiqlər ZF çoxluq teoriyası riyaziyyatın əsasını təşkil edir, çünki demək olar ki, bütün riyazi obyektlər çoxluqlar və ya çoxluqlara əsaslanan quruluşlar kimi təfsir edilə bilər. Məsələn: - Təbii sayılar: Təbii sayılar, ZF çoxluq teoriyasında von Neumann quruluşu ilə müəyyən edilə bilər. Hər bir təbii ədəd, ondan kiçik olan bütün sayıları özündə saxlayan bir çoxluq olaraq təyin edilir. - Gerçək sayılar: Gerçək sayılar, rasyonel sayılardan qurula bilər, lakin Seçim Aksiomu bəzi quruluşlar üçün vacibdir. - Riyazi struktur: Daha mürəkkəb riyazi strukturlar, məsələn, qruplar, vektor məkanları və topoloji məkanlar çoxluqlardan qurula bilər və Zermelo–Fraenkel çoxluq teoriyası vasitəsilə tədqiq oluna bilər. ZF çoxluq teoriyası, həmçinin müasir məntiqin və riyaziyyatın təməl nəzəriyyələrinin inkişafı üçün də əsas təşkil edir. ZF və ZFC Zermelo–Fraenkel çoxluq teoriyası (ZF), tez-tez Seçim Aksiomu (AC) ilə birlikdə istifadə olunur və bu zaman Zermelo–Fraenkel Seçim Aksiomu ilə (ZFC) kimi adlanır. Seçim Aksiomu, ZF-nin digər aksiomlarından müstəqildir, yəni bu aksiomdan istifadə etmədən də ZF-nin tutarlı bir nəzəriyyəsi mövcud ola bilər. ZFC, riyaziyyatın ən çox istifadə edilən çoxluq teoriyası formasıdır, amma bəzi xüsusi sahələrdə Seçim Aksiomunun istifadə olunmadığı ZF nəzəriyyəsi də mövcuddur. ZF çoxluq teoriyası, riyaziyyatın əksər sahələri üçün möhkəm bir təməl təmin etsə də, bəzi məhdudiyyətlərə malikdir. Məsələn, bəzi paradokslar, məsələn, Burali-Forti paradoksu və ya böyük kardinal məsələləri, müəyyən şərtlər altında meydana gələ bilər. Bundan əlavə, ZF, bütün riyazi obyektlərin tam nəzəriyyəsini təqdim etmir. Özünün tutarlılığını sübuta yetirmək (Gödelin tamlıq və qeyri-kamillik nəzəriyyələri nəticəsində) mümkün deyil və bəzi riyazi obyektlər, məsələn, kontinum hipotezi, sistem daxilində qeyri-cavablandırılabilir qalır.
https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
https://plato.stanford.edu/entries/set-theory/zf.html
https://mathworld.wolfram.com/Zermelo-FraenkelAxioms.html
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Lian.pdf
https://mathworld.wolfram.com/Zermelo-FraenkelAxioms.html
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-981-97-4643-9_7
Tarix : 7 yanvar 2025
Əksi qeyd olunmayıbsa, bu məzmun CC BY-SA 4.0 çərçivəsində yayımlanır.
