Modul - Riyaziyyatda fundamental bir konsepsiyanı ifadə edən anlayış. Mahiyyəti Onun tətbiqi cəbrdə halqalar və ideallar nəzəriyyəsindən, analizdə funksiyaların xassələrinin öyrənilməsinə, topologiyada invariantların hesablanmasından kodlaşdırma və kriptoqrafiyaya qədər genişdir. Modul nəzəriyyəsi riyazi strukturları başa düşmək üçün güclü bir alət təqdim edir və bu gün də həm nəzəri, həm də tətbiqi sahələrdə öz aktuallığını qoruyur. Modul bir halqa üzərində qurulmuş Abel qrupudur. Vektor məkanları cisim üzərində işləyirsə, modullar halqa üzərində işləyir və daha ümumi strukturlardır. Bu, modul anlayışını xətti cəbrdəki daha çevik və geniş tətbiq sahəsinə malik bir vasitəyə çevirir. Tərif Bir R-halqası üzərində M modul aşağıdakı şərtləri ödəyən Abel qrupudur: 1. Toplama: M-dəki elementlər Abel qrupunu təşkil edir (yəni, toplama assosiativ, kommutativdir, sıfır elementi mövcuddur, hər bir elementin tərsi var). 2. Skalyar hasil: R-dəki hər bir r və M-dəki hər bir m üçün r*m∈M müəyyən edilir. 3. Distributivlik: - r*(m_1+m_2)=r*m_1+r*m_2 -(r_1+r_2)*m=r_1*m+r_2*m 4. Assosiativlik: (r_1*r_2)*m=r_1*(r_2*m)(r_1*r_2)*m=r_1*(r_2*m), burada r_1,r_2∈R və m∈M. 5. Tənlik elementi: Əgər R-də 1 tənlik elementi varsa, 1*m=m şərti ödənilir. Bu tərif vektor məkanlarının halqalar üzərində olan ümumiləşməsidir. Əgər halqa R cisimdirsə, modul avtomatik olaraq vektor məkanına çevrilir. Növləri - Sərbəst modullar: Bir modul sərbəstdir, əgər onun xətti bağımsız generatorlardan ibarət bazası varsa. Vektor məkanlarında hər zaman baza mövcuddur, lakin modullar üçün bu xüsusiyyət hər zaman təmin olunmur. - Sonlu yaradılmış modullar: Sonlu sayda generator ilə ifadə edilən modullar "sonlu yaradılmış modullar" adlanır. Bu modulların generatorlarının tam çoxluğu onları tam təyin edir. - Torsion modullar: Bir M modulu torsion moduldur, əgər hər bir m∈M elementi üçün r∈R \ {0} tapılır ki, r*m=0. - Proyektiv və injektiv modullar: Proyektiv modullar homomorfizmlərin qaldırılması, injektiv modullar isə homomorfizmlərin genişləndirilməsi xassəsinə malikdir. - Sadə və yarı-sadə modullar: Sadə modul yalnız {0} və özündən ibarət olan altmodullara malikdir. Yarı-sadə modul isə hər bir altmodulu tamamilə sadə modullara bölünə bilən moduldur. Tətbiq sahələri - Halqa və ideal nəzəriyyəsi: Modullar, halqaların quruluşunu və onların ideallarını öyrənməkdə mühüm vasitələrdən biridir. - Homoloji cəbr: Homoloji və kohomologiya nəzəriyyəsi modullardan istifadə edərək qurulur. - Xətti cəbr: Modullar, xətti cəbrdə ümumiləşdirilmiş vektor məkanları kimi geniş tətbiq olunur. - Kodlaşdırma nəzəriyyəsi: Modul nəzəriyyəsi kodların qurulmasında istifadə olunur, məsələn, Goppa kodları. - Kriptoqrafiya: Modul üzərində funksiyalar asimmetrik kriptoqrafik sistemlərin qurulmasında istifadə edilir. - Topologiya: Modul anlayışı topoloji invariantların hesablanmasında geniş istifadə edilir. Tarix Modul anlayışı XIX əsrin sonlarında alman riyaziyyatçısı Richard Dedekind tərəfindən halqaların ideallarını öyrənmək üçün təqdim edilmişdir. Daha sonra Emmy Noether bu sahəyə əsaslı töhfələr verərək modul nəzəriyyəsinin formallaşdırılmasında böyük rol oynamışdır. Bu konsept XX əsrdə homoloji cəbrin və digər müasir riyazi sahələrin inkişafında mühüm rol oynamışdır.
https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)
https://mathworld.wolfram.com/Module.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module
https://ncatlab.org/nlab/show/module
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.math.lsu.edu/~adkins/m7211/AWchap3.pdf
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0923-2_3
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://mathweb.ucsd.edu/~jmckerna/Teaching/16-17/Winter/200B/l_1.pdf
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://resources.saylor.org/wwwresources/archived/site/wp-content/uploads/2011/04/Module-mathematics.pdf
https://www.open.ac.uk/courses/maths/all-modules
https://www.quora.com/What-is-the-definition-of-modules-in-linear-algebra
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-4418-9
https://bookstore.ams.org/coll-37
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://people.maths.ox.ac.uk/mcgerty/Algebra%20II.pdf
https://ncatlab.org/nlab/show/module
Tarix : 29 yanvar 2025
Əksi qeyd olunmayıbsa, bu məzmun CC BY-SA 4.0 çərçivəsində yayımlanır.
