Çoxluqlar nəzəriyyəsi müasir riyaziyyatın əsasını təşkil edir. Çoxluqlar, riyaziyyatın təməl obyektlərinin yaradılmasında istifadə olunur. Sadə çoxluqlar (naiv kümə) nəzəriyyəsi, Georg Cantor və digər riyaziyyatçılar tərəfindən işlənmiş və hər hansı bir məntiqi ya da təsvir edilə bilən kriteriya ilə müəyyən edilmiş hər bir toplama çoxluq sayılmışdır. Lakin 1901-ci ildə Bertrand Russell, özünün "özünə daxil olmayan bütün çoxluqların çoxluğunu" təsvir edərkən, bu nəzəriyyənin daxili ziddiyyətini aşkar etdi. Russellin paradoksu belədir: "Özünə daxil olmayan çoxluqların çoxluğu özünə daxil olarmı?" Bu sualın cavabı iki ziddiyyətli nəticə doğurur: 1. Əgər çoxluq özünə daxil olarsa: O zaman özünə daxil olmayan çoxluqlardan biri olduğu üçün, bu vəziyyətlə ziddiyyət yaranır. 2. Əgər çoxluq özünə daxil olmazsa: O zaman özünə daxil olmayan çoxluqlardan biri olduğunu iddia etməlidir və bu, yenə də ziddiyyət yaradır. Bu, riyaziyyatda böyük bir çətinlik yaradan bir paradoksa gətirib çıxarır. Paradoksu riyazi cəhətdən belə təsvir etmək mümkündür: R={x | x ∉ x} Bu, özünə daxil olmayan bütün çoxluqların çoxluğudur. Paradoks ortaya çıxır, əgər biz R kümesinin özünə daxil olub-olmadığını soruşsaq. İki mümkün vəziyyət nəzərdən keçirək: 1. Əgər R∈R (yəni, R özünə daxildir): O zaman R çoxluğu özünə daxil olmamalıdır, çünki R yalnız özünə daxil olmayan kümələrdən ibarət olmalıdır. Bu, paradoksal olaraq ziddiyyət yaradır. 2. Əgər R∉R (yəni,R özünə daxil olmur): Bu halda R şoxluğu özünə daxil olmayan çoxluqlardan biri olduğu üçün, yenə də özünə daxil olmalıdır. Bu da ziddiyyətli nəticə verir. Russell-in paradoksu, sadə çoxluq nəzəriyyəsinin əsasını təməlindən sarsıdan bir kəşfdir. Bu, hər bir müəyyən edilə bilən toplamanın çoxluq olacağı fikrini çürüdür. Paradoks göstərdi ki, bu yanaşma öz-özlüyündə məntiqi cəhətdən səhvdir və ziddiyyətli nəticələrə yol açır. Bu problemi aradan qaldırmaq məqsədilə riyaziyyatçılar daha ciddi və mütəşəkkil bir çoxluq nəzəriyyəsi sistemi inkişaf etdirdilər. Bu çətinliyi aşmaq üçün ən çox qəbul edilən yanaşmalardan biri Aksiomatik Çoxluq Nəzəriyyəsi (Zermelo-Fraenkel çoxluq nəzəriyyəsi - ZF) oldu. Zermelo-Fraenkel aksiyomları, çoxluqların necə qurulacağını məhdudlaşdıraraq, Russell paradoksunun yaranmasının qarşısını alır. Bu nəzəriyyənin xüsusiyyətlərindən biri Vahidlik aksiomudur (Axiom of Regularity), hansı ki, özünə daxil olan çoxluqların yaranmasını əngəlləyir. Russellin paradoksuna qarşı bir neçə yanaşma təklif olunmuşdur: 1. Aksiomatik çoxluq nəzəriyyəsi: Zermelo-Fraenkel aksiyomları, çoxluqların necə qurulmasını məhdudlaşdırır və beləliklə, Russell-in paradoksunun yaranmasının qarşısını alır. 2.Tip nəzəriyyəsi: Bertrand Russell özünün tip nəzəriyyəsini təklif etdi. Bu nəzəriyyədə obyektlər fərqli növlərdə (tip) sıralanır, belə ki, bir çoxluq özünə daxil ola bilməz, çünki bu, daha yüksək bir tipə aid olmalıdır. 3. Alternativ çoxluq nəzəriyyələri: Yeni Əsaslar (New Foundations - NF) nəzəriyyəsi, Willard Van Orman Quine tərəfindən təklif edilmiş və Russell-in paradoksunu aradan qaldırmağa çalışan başqa bir yanaşmadır.
https://en.wikipedia.org/wiki/Russell%27s_paradox
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Principles_of_Mathematics
Zermelo, E. (1908). "Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Grundlegung der Mathematik," Mathematische Annalen, 65(3), 281–301.
https://www.jstor.org/stable/421046
https://philpapers.org/rec/QUISFF
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://sistemas.fciencias.unam.mx/~lokylog/images/Notas/la_aldea_de_la_logica/Libros_notas_varios/L_03_ENDERTON_A%20Mathematical%20Introduction%20to%20Logic,%20Second%202Ed.pdf
https://link.springer.com/book/10.1007/3-540-44761-X
https://www.researchgate.net/publication/38373645_On_the_Consistency_of_Quine's_New_Foundations_for_Mathematical_Logic
Tarix : 7 yanvar 2025
Əksi qeyd olunmayıbsa, bu məzmun CC BY-SA 4.0 çərçivəsində yayımlanır.
